Le théorème de Pythagore est l'une des notions phares du programme de mathématiques de 4e. Il permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle sans la mesurer, simplement à partir des deux autres côtés. C'est un outil incontournable pour réussir le brevet et progresser en géométrie.
Dans ce cours clair et complet, tu découvriras l'énoncé du théorème de Pythagore, sa formule, des exemples concrets du quotidien et un exercice corrigé étape par étape. Avec monprof2maths, tu peux ensuite t'entraîner de façon gamifiée pour maîtriser Pythagore en t'amusant.
Définition et énoncé du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore s'applique uniquement dans un triangle rectangle, c'est-à-dire un triangle qui possède un angle droit (90°). L'énoncé est le suivant : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
L'hypoténuse est le côté le plus long du triangle rectangle : c'est toujours celui qui est opposé à l'angle droit. Bien repérer l'hypoténuse est la première étape pour appliquer correctement le théorème de Pythagore.
La formule de Pythagore
Si on nomme a et b les longueurs des deux côtés de l'angle droit, et c la longueur de l'hypoténuse, la formule du théorème de Pythagore s'écrit : a² + b² = c². Autrement dit, en additionnant les carrés des deux côtés de l'angle droit, on obtient le carré de l'hypoténuse.
Cette formule fonctionne dans les deux sens. Pour trouver l'hypoténuse, on calcule c = √(a² + b²). Pour trouver un côté de l'angle droit quand on connaît l'hypoténuse, on utilise une soustraction : a² = c² − b², puis a = √(c² − b²). Pense aussi à la réciproque du théorème de Pythagore, qui sert à démontrer qu'un triangle est rectangle : dans un triangle dont le plus grand côté a pour longueur c, si a² + b² = c², alors le triangle est rectangle et son angle droit est opposé au plus grand côté.
À quoi sert Pythagore dans la vie de tous les jours
Le théorème de Pythagore n'est pas réservé aux contrôles : il est partout autour de nous. Les maçons, les menuisiers et les couvreurs l'utilisent pour vérifier qu'un angle est bien droit ou pour calculer la longueur d'une charpente.
Un exemple concret : tu veux poser une échelle contre un mur. Le pied de l'échelle est à 1,5 m du mur et l'échelle mesure 2,5 m. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ? Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'échelle est l'hypoténuse. On calcule : hauteur² = 2,5² − 1,5² = 6,25 − 2,25 = 4, donc hauteur = √4 = 2 m. Pythagore sert aussi à mesurer une distance en diagonale, à régler la taille d'un écran ou à estimer un trajet sur un GPS.
Les erreurs fréquentes à éviter
La première erreur est d'appliquer Pythagore à un triangle qui n'est pas rectangle : le théorème ne fonctionne que s'il y a un angle droit. La deuxième erreur classique est de se tromper d'hypoténuse : c'est toujours le côté opposé à l'angle droit, donc le côté le plus long.
Attention aussi à ne pas oublier la racine carrée à la fin : trouver c² = 25 ne suffit pas, il faut écrire c = √25 = 5. Enfin, pour calculer un côté de l'angle droit, on soustrait (a² = c² − b²) et non l'inverse : additionner au lieu de soustraire donne un résultat faux. Sur monprof2maths, des exercices interactifs t'aident justement à repérer et corriger ces pièges.
Exercice résolu : calculer la longueur de l'hypoténuse
- Énoncé : un triangle ABC est rectangle en A. On donne AB = 3 cm et AC = 4 cm. On cherche la longueur de l'hypoténuse BC.
- Étape 1 — Repérer l'hypoténuse : elle est toujours le côté opposé à l'angle droit. Ici l'angle droit est en A, donc l'hypoténuse est BC.
- Étape 2 — Écrire le théorème de Pythagore : comme le triangle ABC est rectangle en A, on a BC² = AB² + AC².
- Étape 3 — Remplacer par les valeurs : BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
- Étape 4 — Calculer la racine carrée : BC = √25 = 5 (car BC est une longueur, donc positive).
- Conclusion : la longueur de l'hypoténuse est BC = 5 cm.