La trigonométrie fait peur à beaucoup d'élèves de 3e, et pourtant c'est l'un des chapitres les plus utiles et les plus logiques du programme. En réalité, tout repose sur trois petites formules (cosinus, sinus, tangente) qui relient les angles aigus et les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Une fois la méthode comprise, vous gagnez des points faciles au brevet.
Dans ce cours clair et complet, vous allez découvrir les définitions exactes, la règle à retenir, des exemples concrets du quotidien et les erreurs à éviter. Avec monprof2maths, vous vous entraînez en mode jeu, exercice après exercice, jusqu'à maîtriser parfaitement le cosinus, le sinus et la tangente.
Définition : qu'est-ce que la trigonométrie ?
La trigonométrie, au collège, est l'étude des relations entre les angles aigus et les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Elle permet de calculer une longueur quand on connaît un angle aigu et une longueur, ou de trouver un angle aigu quand on connaît deux longueurs.
Tout commence par bien repérer les côtés par rapport à un angle aigu donné. L'hypoténuse est le côté le plus long du triangle rectangle, toujours opposé à l'angle droit (elle ne dépend donc jamais de l'angle aigu choisi). Le côté adjacent à l'angle aigu est celui qui le touche sans être l'hypoténuse, et le côté opposé est celui qui se trouve en face de cet angle. Cette étape d'identification est la clé de toute la trigonométrie.
Les formules : cosinus, sinus, tangente
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, on utilise trois formules à connaître par cœur :
cos(angle) = côté adjacent / hypoténuse sin(angle) = côté opposé / hypoténuse tan(angle) = côté opposé / côté adjacent
Pour ne jamais les oublier, retenez le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé / Hypoténuse, Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent. Choisissez la formule selon les deux côtés concernés : celui que vous connaissez et celui que vous cherchez. Attention : pour ces calculs, votre calculatrice doit toujours être réglée en mode degré (DEG).
À quoi ça sert ? Un exemple du quotidien
La trigonométrie n'est pas qu'une formule abstraite : elle sert à mesurer ce qu'on ne peut pas atteindre directement. Les architectes, les marins, les pilotes et même les concepteurs de jeux vidéo l'utilisent en permanence.
Exemple concret : vous voulez connaître la hauteur d'un arbre sans le grimper. Vous vous placez à 12 mètres du pied de l'arbre et vous mesurez l'angle entre le sol et la droite qui vise le sommet : 40°. Le triangle est rectangle au pied de l'arbre. On connaît le côté adjacent à l'angle de 40° (12 m) et on cherche le côté opposé (la hauteur) : on utilise donc la tangente. tan(40°) = hauteur / 12, donc hauteur = 12 × tan(40°) ≈ 12 × 0,839 ≈ 10,1 m. Voilà comment mesurer un arbre avec un simple angle !
Erreurs fréquentes à éviter
Première erreur : confondre les côtés. Le côté adjacent et le côté opposé dépendent toujours de l'angle aigu choisi : vérifiez bien quel angle vous utilisez avant d'écrire la formule (seule l'hypoténuse ne change jamais).
Deuxième erreur classique : oublier de régler la calculatrice en mode degré. Si elle est en radians, tous vos résultats seront faux. Troisième erreur : se tromper de formule entre cosinus, sinus et tangente — utilisez SOH-CAH-TOA pour vérifier. Enfin, pour trouver un angle à partir de deux longueurs, n'oubliez pas d'utiliser les touches inverses cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ (et non cos, sin, tan). En vous entraînant régulièrement sur monprof2maths, ces réflexes deviennent automatiques.
Exercice résolu : calculer la longueur d'un côté avec le cosinus
- Énoncé : dans un triangle ABC rectangle en B, l'angle en A mesure 35° et l'hypoténuse AC = 10 cm. On cherche la longueur du côté AB (adjacent à l'angle A).
- Étape 1 — Identifier les côtés par rapport à l'angle de 35° (l'angle en A) : l'hypoténuse est AC (le côté opposé à l'angle droit), le côté adjacent à l'angle A est AB, le côté opposé à l'angle A est BC.
- Étape 2 — Choisir la bonne formule. On connaît l'hypoténuse et on cherche le côté adjacent : on utilise donc le cosinus. cos(angle) = adjacent / hypoténuse, ce qui donne cos(35°) = AB / AC = AB / 10.
- Étape 3 — Isoler l'inconnue : AB = 10 × cos(35°).
- Étape 4 — Calculer avec la calculatrice (réglée en mode degré !) : cos(35°) ≈ 0,819, donc AB ≈ 10 × 0,819 ≈ 8,19 cm.
- Conclusion : le côté AB mesure environ 8,2 cm (arrondi au dixième).