Les nombres relatifs, c'est le grand saut de la 5e et de la 4e : on quitte les nombres positifs pour découvrir aussi les nombres négatifs, avec leur signe « + » ou « - ». Température en dessous de zéro, compte en banque dans le rouge, altitude sous le niveau de la mer... les nombres relatifs sont partout dans la vie quotidienne.
Dans ce cours clair et complet, tu vas apprendre à les repérer, les comparer, les additionner, les soustraire et les multiplier sans te tromper de signe. Avec monprof2maths, tu t'entraînes ensuite en t'amusant, exercice après exercice, comme dans un jeu.
Définition : c'est quoi un nombre relatif ?
Un nombre relatif est un nombre composé d'un signe et d'une distance à zéro. Le signe est soit « + » (nombre positif), soit « - » (nombre négatif). Par exemple, +5 et -5 sont deux nombres relatifs : ils ont la même distance à zéro (5), mais des signes opposés. On dit que ce sont deux nombres opposés. À noter : 0 est à la fois positif et négatif, et c'est le seul nombre dans ce cas.
Sur une droite graduée, le zéro sépare les positifs (à droite) des négatifs (à gauche). Plus on va vers la droite, plus le nombre est grand. Ainsi -8 est plus petit que -2, et -2 est plus petit que +1, ce que l'on écrit -8 < -2 < +1. La distance à zéro (que l'on appellera plus tard la valeur absolue) sert justement à comparer et à calculer : pour -7, la distance à zéro est 7. Attention, chez les nombres négatifs, plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit : -8 est plus petit que -2.
La règle des signes (addition et multiplication)
Pour ADDITIONNER deux nombres relatifs : si les deux signes sont identiques, on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun (ex. (-3) + (-4) = -7). Si les deux signes sont différents, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre dont la distance à zéro est la plus grande (ex. (+8) + (-5) = +3).
Pour SOUSTRAIRE, on applique une astuce : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé (ex. (+6) - (-2) = (+6) + (+2) = +8).
Pour MULTIPLIER (et diviser), au programme de la 4e, la règle des signes est rapide : « + par + = + », « - par - = + », « + par - = - » et « - par + = - ». En résumé : deux signes identiques donnent un résultat positif, deux signes différents donnent un résultat négatif. Attention à ne pas confondre cette règle de la multiplication avec celle de l'addition !
À quoi ça sert ? Un exemple du quotidien
Les nombres relatifs servent à décrire tout ce qui peut être « au-dessus » ou « en dessous » d'une référence. Les températures en hiver (-6 °C le matin), les étages d'un parking souterrain (niveau -2), le solde d'un compte bancaire (-30 € quand on est à découvert) ou l'altitude (la mer Morte est à environ -430 m) : tout cela s'exprime avec des nombres relatifs.
Exemple concret : il fait -4 °C le matin, puis la température monte de 9 °C dans la journée. Quelle est la température finale ? On calcule (-4) + (+9) = +5. Il fait donc 5 °C. C'est exactement le même raisonnement qu'en maths, et c'est ce qui rend ce chapitre si utile dans la vraie vie.
Les erreurs fréquentes à éviter
Erreur n°1 : oublier le signe du résultat. Quand on additionne deux nombres de signes différents, on n'oublie pas de garder le signe du nombre dont la distance à zéro est la plus grande : (+3) + (-7) = -4, et non +4.
Erreur n°2 : confondre les règles d'addition et de multiplication. « moins par moins = plus » ne marche QUE pour la multiplication ou la division. Pour l'addition, (-2) + (-3) = -5, et surtout pas +5 !
Erreur n°3 : mal gérer la soustraction d'un négatif. (+5) - (-3) ne fait pas +2 : soustraire -3 revient à ajouter +3, donc le résultat est +8. Avec un peu d'entraînement régulier sur monprof2maths, ces réflexes deviennent automatiques.
Exercice résolu : calculer une somme de nombres relatifs
- Énoncé : calculer A = (-7) + (+3) + (-2) + (+9).
- Étape 1 — Je regroupe les nombres positifs entre eux : (+3) + (+9) = +12.
- Étape 2 — Je regroupe les nombres négatifs entre eux : (-7) + (-2) = -9.
- Étape 3 — J'additionne les deux résultats : (+12) + (-9). Les deux signes sont différents, donc je soustrais la plus petite distance à zéro de la plus grande : 12 - 9 = 3.
- Étape 4 — Je garde le signe du nombre dont la distance à zéro est la plus grande (ici +12, de distance 12) : le résultat est donc positif.
- Conclusion : A = +3, soit A = 3.